已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1经过点($\sqrt{3}$.$\frac{1}{2}$).离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.其左.右顶点分别为A.B．直线l1:x=-2.直线l2:y=2．(1)求椭圆C的方程,(2)设点P是椭圆C上在x轴上方的一个动点.直线AP与直线l2交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左、右顶点分别为A，B．直线l₁：x=-2，直线l₂：y=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上在x轴上方的一个动点，直线AP与直线l₂交于点M，直线BP与直线l₁交于点N，求直线MN的斜率的取值范围．

分析（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出a，b，c即可得出．
（2）设P（x₀，y₀），则${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}=4$．可得k_AP•k_BP=-$\frac{1}{4}$．设k_AP=k，可得k_BP=-$\frac{1}{4k}$．直线AP的方程为：y=k（x+2），可得M$（\frac{2-2k}{k}，2）$；同理可得：N$（-2，\frac{1}{k}）$，即可得出k_MN．

解答解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）设P（x₀，y₀），则${x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}=4$．
k_AP•k_BP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=-$\frac{1}{4}$．
设k_AP=k，则k_BP=-$\frac{1}{4k}$．
直线AP的方程为：y=k（x+2），∴M$（\frac{2-2k}{k}，2）$．
直线BP的方程为：y=$-\frac{1}{4k}$（x-2），∴N$（-2，\frac{1}{k}）$．
∴k_MN=$\frac{2-\frac{1}{k}}{\frac{2-2k}{k}+2}$=k-$\frac{1}{2}$，
∵k＞0，
∴k_MN=k-$\frac{1}{2}$$＞-\frac{1}{2}$．
∴直线MN的斜率的取值范围是$（-\frac{1}{2}，+∞）$．