如图.某自行车手从O点出发.沿折线O-A-B-O匀速骑行.其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20$\sqrt{2}$千米．该车手于上午8点整到达点A.8点20分骑至点C.其中点C位于点O南偏东(其中sinα=$\frac{1}{{\sqrt{26}}}$.0°＜α＜90°)且与点O相距5$\sqrt{13}$千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)．(1)求该自行车手� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，某自行车手从O点出发，沿折线O-A-B-O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20$\sqrt{2}$千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°-α）（其中sinα=$\frac{1}{{\sqrt{26}}}$，0°＜α＜90°）且与点O相距5$\sqrt{13}$千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）．
（1）求该自行车手的骑行速度；
（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．

分析（1）根据余弦定理，即可求出AC的长，即可求出自行车的速度，
（2）先根据余弦定理，即可求出cos∠OAC，再根据正弦定理可得OM，再在Rt△EHM中，求出EM的大小，比较即可．

解答解：（1）由题意，知：OA=20$\sqrt{2}$，OC=5 $\sqrt{13}$，
∠AOC=α，sinα=$\frac{1}{\sqrt{26}}$．
由于0°＜α＜90°，所以cos=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{26}}}）^{2}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$．
由余弦定理，得AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}-2OA•OC•cosα}$=5$\sqrt{5}$．
所以该自行车手的行驶速度为$\frac{5\sqrt{5}}{\frac{1}{3}}$=15$\sqrt{5}$ （千米/小时）．
（2）如图，设直线OE与AB相交于点M．在△AOC中，由余弦定理，
得：cos∠OAC=$\frac{O{A}^{2}+A{C}^{2}-O{C}^{2}}{2OC•AC}$=$\frac{2{0}^{2}×2+{5}^{2}×5-{5}^{2}×13}{2×20\sqrt{2}×5\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
从而 sin∠OAC=$\sqrt{1-\frac{9}{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
在△AOM中，由正弦定理，得：OM=$\frac{OAsin∠OAM}{sin（45°-∠OAM）}$=$\frac{20\sqrt{2}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{10}}{10}）}$=20，
由于OE=27.5＞40=OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE-OM=7.5．
过点E作EH AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离．
在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°-∠OAC）=7.5×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$＜3.5．
所以该自行车手会进入降雨区．