Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数{b_n}是等比数列，公比为q（q＞0）且b₁=S₁，b₄=a₂+a₃，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n与S_n的关系进行求数列的通项公式．
（2）由等比数列的性质可求公比q，及首项b₁，即可利用等比数列的求和公式计算得解．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}，（n∈N*）$，
∴当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，
又当n=1时，a₁=S₁=3，满足上式，a_n=2n-1（n∈N*）
（2）由（1）可知a₁=S₁=3，a₂=5，a₃=7，又b₂=S₁，b₄=a₂+a₃，
∴b₂=3，b₄=12．
又数列{b_n}是公比为正数等比数列，
∴${q^2}=\frac{b_4}{b_2}=4$，又q＞0，
∴q=2，
∴${b_1}=\frac{b_2}{q}=\frac{3}{2}$，
∴数列{b_n}的前n项和${T_n}=\frac{{{b_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{\frac{3}{2}（1-{2^n}）}}{1-2}=\frac{3}{2}（{2^n}-1）$．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求法，考查了等差、等比数列的性质与求和，要求熟练掌握a_n与S_n的关系，考查了转化思想的应用，属于中档题．