Question

15．对于函数f（x），g（x）满足：对任意x∈R，都有f（x²-2x+3）=g（x），若关于x的方程g（x）+sin$\frac{π}{2}$x=0只有5个根，则这5个根之和为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 根据条件，先判断g（x）关于x=1对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．

解答 解：∵y=x²-2x+3的对称轴为x=1，
∴由f（x²-2x+3）=g（x）得g（x）关于x=1对称
由g（x）+sin$\frac{π}{2}$x=0得g（x）=-sin$\frac{π}{2}$x，
作出函数y=-sin$\frac{π}{2}$x的图象，
若程g（x）+sin$\frac{π}{2}$x=0只有5个根，
则其中一个根x=1，其余四个根两两关于x=1对称，
则关于对称的根分别为x₁，和x₂，x₃和x₄，
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}=1$，
则x₁+x₂=2，x₃+x₄=2，
则这5个根之和为2+2+1=5，
故选：A．

点评 本题主要考查根的个数的判断，根据条件判断两个函数的对称性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．