Question

（2011•洛阳二模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，AA₁=AC=2，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC₁，N为BC的中点，点P在棱A₁C₁上，

A1P

=λ

A1C1

．
（1）当λ取什么值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大，并求此时θ的正弦值；
（2）求二面角C₁-AN-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）设O为AC的中点，连接A₁O，A₁C，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出直线PN的方向向量和平面ABC的一个法向量，求出θ的正弦值的表达式，结合二次函数的图象和性质可求出λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大；
（2）求出平面C₁AN的一个法向量，结合（1）中平面ABC的法向量代入向量夹角公式，可得二面角C₁-AN-C的余弦．

解答：解：（1）设O为AC的中点，连接A₁O，A₁C，
∵AA₁=AC，∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC为正三角形，
∴A₁O⊥AC
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，A₁O?平面A₁ACC₁，
∴A₁O⊥平面ABC，
∵△ABC为正三角形，
∴OB⊥AC
建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，

3

，0），C（-1，0，0），A₁（0，0，

3

），C₁（-2，0，

3

），N（-

1

2

，

3

2

，0）
∵

A1P

=λ

A1C1

．
∴

OP

=

OA1

+λ

A1C1

=（-2λ，0，

3

），
∴P（-2λ，0，

3

），
∴

PN

=（-2λ-

1

2

，

3

2

，-

3

），
显然平面ABC的一个法向量为

n

=（0，0，1）
∴sinθ=|cos＜

PN

，

n

＞|=

3

(2λ- 1 2 )2+ 15 4

∵θ∈[0，

π

2

]
∴当sinθ最大时，θ最大，
当λ=

1

4

时，sinθ取最大值

2 5

5

（2）由（1）得

C1A

=（3，0，-

3

），

C1N

=（

3

2

，

3

2

，-

3

），
设平面C₁AN的一个法向量为

m

=（x，y，z），则

m • C1A =0 m • C1N =0

，即

3x- 3 z=0 3 2 x+ 3 2 y- 3 z=0

，
令x=1，则

m

=（1，

3

，

3

）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

7

=

21

7

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面所成的角，建立空间坐标系，将线面夹角及二面角问题转化为向量夹角是解答本题的关键．