题目内容

(2011•洛阳二模)设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|.
(1)若关于x的不等式a≥f(x)存在实数解,求实数a的取值范围;
(2)若?x∈R,f(x)≥-t2-
52
t-1
恒成立,求实数t的取值范围.
分析:(1)化简函数f(x)的解析式,利用单调性求出函数f(x)的最小值等于-
5
2
,由此可得实数a的取值范围.
(2)由?x∈R,f(x)≥-t2-
5
2
t-1
恒成立,可得-
5
2
≥-t2-
5
2
t-1
,由此解得 t的取值范围.
解答:解:(1)∵函数f(x)=|2x+1|-|x-2|=
-x-3 ,  x≤-
1
2
3x-1  , -
1
2
<x<2
x+3  ,  x≥2

∴fmin(x)=f(-
1
2
)=-
5
2

由题意可得a≥-
5
2
,故实数a的取值范围为[-
5
2
,+∞).
(2)∵?x∈R,f(x)≥-t2-
5
2
t-1
恒成立,
∴-
5
2
≥-t2-
5
2
t-1
,解得 t≥
1
2
,或 t≤-3.
故实数t的取值范围为[
1
2
,+∞)∪(-∞,-3].
点评:本题主要考查绝对值不等式的解法,求函数的最值,函数的恒成立问题,属于中档题.
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