Question

（2011•洛阳二模）设函数f（x）的定义域为R，f（x）=

x，0≤x≤1 ( 1 2 )x-1，-1≤x＜0.

且对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有四个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A．[0，

  1

  2

  ]
• B．[0，

  1

  4

  ）
• C．（0，

  1

  2

  ]
• D．（0，

  1

  4

  ]

Answer 1

分析：先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．

解答：解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）-1]=f（x），所以2是f（x）的周期
令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（-1，0）
函数f（x）=

x，0≤x≤1 ( 1 2 )x-1，-1≤x＜0.

在区间[-1，3]上的图象如图所示
由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=

1

4

∴在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，

1

4

]
故选D．

点评：本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．