Question

已知椭圆的离心率为，点F₁，F₂分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点F₂的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F_l MN面积最大时直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由离心率为，得，根据圆与直线相切可得，再由a²=b²+c²联立可解得a，b；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立直线l方程与椭圆方程消掉x得y的二次方程，则=，代入韦达定理即可得关于m的函数表达式，恰当变形后，利用函数单调性求得其最大值及相应m值；
解答：解：（I）由题意得，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则点M、N的坐标是方程组的两组解，
消掉x得，（3m²+4）y²+6my-9=0，所以，
所以=
====3（当且仅当m=0时取等号），
所以当m=0时，S_△ABC取最大值，此时直线l的方程为x=1．
点评：本题考查直线方程、椭圆方程及直线和椭圆、圆的位置关系，考查三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力．