Question

已知函数f（x）满足2f（x＋2）＝f（x），当x∈（0，2）时，f（x）＝lnx＋ax （），当x∈（―4，―2）时，f（x）的最大值为―4．

（1）求x∈（0，2）时，f（x）的解析式；

（2）是否存在实数b使得不等式对于恒成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）f（x）＝lnx－x；（2）{1}

【解析】试题分析：（1）由已知得：f（x）＝2f（x＋2）＝4f（x＋4），设x∈（－4，－2）时，则x＋4∈（0，2），代入x∈（0，2）时，f（x）＝lnx＋ax（a＜?），求出f（x＋4）＝ln（x＋4）＋a（x＋4），再根据当x∈（－4，－2）时，f（x）的最大值为－4，利用导数求得它的最大值，解方程即可求得a的值，进而求得结论；

（2）假设存在实数b使得不等式对于x∈（0，1）∪（1，2）时恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，利用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，即可求得b的值．

试题解析：（1）由已知，f（x）＝2f（x＋2）＝4f（x＋4）

当x∈（0，2）时，f（x）＝lnx＋ax（a＜－）

当x∈（－4，－2）时，x＋4∈（0，2），

∴f（x＋4）＝ln（x＋4）＋a（x＋4）

∴当x∈（－4，－2）时，f（x）＝4f（x＋4）＝4ln（x＋4）＋4a（x＋4）

∴f '（x）＝＋4a＝4a•，

∵a＜?，∴?4＜??4＜?2，

∴当x∈（?4， ??4）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（??4，?2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，

∴f（x）max＝f（??4）＝4ln（?）＋4a（?）＝?4，∴a＝－1

∴当x∈（0，2）时，f（x）＝lnx－x

（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）时，不等式恒成立，

即为恒成立，

①当x∈（0，1）时，

⇒b＞x?lnx，令g（x）＝x?lnx，x∈（0，1）

则g′（x）＝1?＝

令h（x）＝2?lnx?2，

则当x∈（0，1）时，h′（x）＝＝＜0

∴h（x）＞h（1）＝0，∴g′（x）＝＞0，

∴g（x）＜g（1）＝1，故此时只需b≥1即可；

②当x∈（1，2）时，

⇒b＜x?lnx，令φ（x）＝x?lnx，x∈（1，2）

则φ′（x）＝1?＝

令h（x）＝2?lnx?2，

则当x∈（1，2）时，h′（x）＝＝＞0

∴h（x）＞h（1）＝0，∴φ′（x）＝＞0，

∴φ（x）＞φ（1）＝1，故此时只需b≤1即可，

综上所述：b＝1，因此满足题中b的取值集合为：{1}

考点：利用导数研究函数的单调性，最值，函数的周期性，不等式恒成立问题，分类讨论．