题目内容

已知向量 $数学公式$ =（sinθ，cosθ）与 $数学公式$ =（ $数学公式$ ，1），其中θ∈（0， $数学公式$ ）
（1）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）= $数学公式$ ，求f（θ）的值域．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
∴sinθ- $\text{[math]}$ cosθ=0
求得tanθ= $\text{[math]}$
又∵θ∈（0， $\text{[math]}$ ）∴θ= $\text{[math]}$
sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$
（本问也可以结合sin²θ+cos²θ=1或利用2sin（θ- $\text{[math]}$ ）=0来求解．
（2）f（θ）= $\text{[math]}$ +（cosθ+1）²
=2 $\text{[math]}$ sinθ+2cosθ+5
=4sin（θ+ $\text{[math]}$ ）+5
又∵θ∈（0， $\text{[math]}$ ），θ+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ＜sin（θ+ $\text{[math]}$ ）≤1
7＜f（θ）≤9
即函数f（θ）的值域为（7，9]．
分析：（1）通过向量的平行，推出sinθ= $\text{[math]}$ cosθ，根据θ的范围，同角三角函数的基本关系式，直接求sinθ和cosθ的值；
（2）先根据向量坐标运算表示出函数f（θ），然后化简为y=Asin（wx+ρ）的形式你，再根据θ的范围和正弦函数的性质得到答案．
点评：本题考查三角函数的化简求值，向量平行的应用，注意角的范围三角函数的符号，函数值的确定，角的变换的技巧，考查计算能力，常考题型．