Question

14．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是平面单位向量，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，若平面向量$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow b•\overrightarrow{e_1}=2，\overrightarrow b•\overrightarrow{e_2}=\frac{5}{2}$，则$|{\overrightarrow b}|$=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{b}$=λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$，从而结合题意可得λ₁+$\frac{1}{2}$λ₂=2，$\frac{1}{2}$λ₁+λ₂=$\frac{5}{2}$；从而解得．

解答 解：设$\overrightarrow{b}$=λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
故$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$\overrightarrow{{e}_{1}}$
=λ₁+$\frac{1}{2}$λ₂=2，
$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•$\overrightarrow{{e}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$λ₁+λ₂=$\frac{5}{2}$，
解得，λ₁=1，λ₂=2；
故$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{b}$=（λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$）
=λ₁²+λ₂²+2λ₁λ₂•$\frac{1}{2}$=7，
故$|{\overrightarrow b}|$=$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理的应用及数量积的应用．