Question

19．已知圆C经过点A（3，2）和B（3，6）．
（I）求面积最小的圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过定点T（1，0），且与（I）中的圆C相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （I）以线段AB为直径的圆面积最小，即可求面积最小的圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，即可求l的方程．

解答 解：（I）以线段AB为直径的圆面积最小，所以圆心C$（\frac{3+3}{2}，\frac{2+6}{2}）$，即C（3，4），半径是2，
所以面积最小的圆C的方程是（x-3）²+（y-4）²=4…（5分）
（II）①若直线l的斜率不存在，即直线是x=1，符合题意 …（7分）
②若直线l斜率存在，设直线l₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，即：$\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，
解之得  $k=\frac{3}{4}$．…（11分）
所求直线l方程是x=1，或3x-4y-3=0…（12分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．