Question

（本小题满分14分）已知函数，.

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，求在上的最小值，并证明.

Answer 1

（1）当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，

无单调递减区间；当时，由得，由得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.

试题解析：【解析】
（1）的定义域为. （1分）

（3分）

当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，

无单调递减区间. （5分）

当时，由得，由得，所以的单调递增区间是，单调递减区间是， （7分）

由（1）知，当时，在上单调递增，所以在上的

最小值为. （9分）

所以（） （10分）

所以，即（）. （12分）

所以 （14分）

考点：1、利用导数求函数的单调区间；（2）证明不等式.