Question

8．在直角坐标系xoy中，直线l的方程为x-y+4=0．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0．
（1）求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P曲线C上任意一点，P点的直角坐标为（x，y），求x+2y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直线l的极坐标方程．把曲线C的极坐标方程展开可得：ρ²-4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入即可得出直角坐标方程．
（2）x²+y²-4x-4y+6=0，配方化为：（x-2）²+（y-2）²=2，圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$．设x+2y=t，则圆心C到直线的距离d=$\frac{|2+4-t|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{2}$，解出即可得出．

解答 解：（1）直线l的方程为x-y+4=0．把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得直线l的极坐标方程：ρcosθ-ρsinθ+4=0．
曲线C的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）+6=0，展开可得：ρ²-4$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）+6=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²代入可得：x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）x²+y²-4x-4y+6=0，配方化为：（x-2）²+（y-2）²=2，圆心C（2，2），半径r=$\sqrt{2}$．
设x+2y=t，则圆心C到直线的距离d=$\frac{|2+4-t|}{\sqrt{5}}$≤$\sqrt{2}$，
解得$10-\sqrt{6}$≤t≤10+$\sqrt{6}$．
∴x+2y的最小值和最大值分别为：$10-\sqrt{6}$；10+$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系、和差化积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．