Question

3．在三角形ABC中AB=a，AC=b（b＞0，a＞0），P是三角形ABC的外心，数量积$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BC}$等于（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$
• B． a+b
• C． $\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{2}$
• D． $\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{BC}$，根据外心的性质可得出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=\frac{{a}^{2}}{2}$，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=\frac{{b}^{2}}{2}$．

解答 解：过P作PM⊥AB，PN⊥AC，则M，N分别是AB，AC的中点，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=AB•AP•cos∠PAB=AB•AM=a•$\frac{a}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{2}$．
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=AC•AP•cos∠PAC=AC•AN=b$•\frac{b}{2}$=$\frac{{b}^{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，属于中档题．