Question

甲船在A处观察乙船，乙船在B处，在甲的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的

3

倍． 求：
（1）甲船应朝什么方向行驶，才能在最短时间内追上乙船；
（2）甲船追上乙船时，甲船行驶了多少海里？

Answer 1

分析：（1）由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC=tv，AC=

3

tv，B=120°，在三角形中利用正弦定理，可求甲追击的方向；
（2）在△ABC中，利用余弦定理即可求解甲船追上乙船时，甲船行驶的距离．

解答：解：（1）如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，
则BC=tv，AC=

3

tv，B=120°，（2分）
由正弦定理知

BC

sin∠CAB

=

AC

sinB

，（4分）
∴

1

sin∠CAB

=

3

sin120°

，
∴sin∠CAB=

1

2

，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=30°，
∴甲追击的方向是北偏东30⁰．（8分）
（2）BC=AB=a，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos 120°=a²+a²-2a²•(-

1

2

)=3a²，∴AC=

3

a．
∴甲追上乙船时，甲行驶了

3

a 海里．
∴甲追击的方向是北偏东30⁰．甲追上乙船时，甲行驶了

3

a 海里．   （14分）

点评：本题重点考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查学生对方位角的概念的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．