Question

3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b+c=acosC+$\sqrt{3}$asinC．
（1）求A；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理、两角和的正弦公式、内角的范围化简已知的式子，由辅助角公式、两角差的正弦公式化简求出sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由A的范围和特殊角的正弦值求出A；
（2）根据向量的数量积运算化简已知的式子，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（1）由题意得，b+c=acosC+$\sqrt{3}$asinC，
由正弦定理得，sinB+sinC=sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC，
则sin（A+C）+sinC=sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC，
sinCcosA+sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC，
又sinC≠0，则cosA+1=$\sqrt{3}$sinA，
所以$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，则2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
因为0＜A＜π，所以-$\frac{π}{6}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，则A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
所以A=$\frac{π}{3}$；
（2）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}$得，$|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|cosA=\sqrt{3}$，
所以$|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{3}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|sinA$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查正弦定理及面积公式的运用，两角和与差的正弦公式、辅助角公式，同时考查向量数量积运算的运用，注意内角的范围，考查化简、变形能力，属于中档题．