Question

(2007湖北八校模拟)如下图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D．若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有：

①AC⊥β；②AC与α、β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能为增加条件的是________(填上你认为正确的所有答案序号)．

Answer 1

答案：略
解析：

答案①③ 解析：若增加条件①，由AC⊥β，且，．又AB⊥α且，∴AB⊥EF．又AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A、B、C、D四点共面，∴EF⊥平面ABDC．而平面ABDC，∴EF⊥BD；若增加条件③，∵CD⊥a且，∴EF⊥CD，由三垂线定理的逆定理可知EF与CD在平面β内的射影垂直，而AC与CD在β内的射影在同一条直线上，∴EF与AC在平面β内的射影垂直，由三垂线定理可知EF⊥AC．又AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，∴A、B、D、C四点共面，EF⊥平面ABDC．而平面ABDC，∴EF⊥BD．而增加条件②或④均不能推出BD⊥EF．