题目内容
已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=| an+1 |
| an |
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n；
（Ⅲ）求证：|b2n-bn|＜
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| 17n-2 |
分析：（Ⅰ）根据a2和a1及题设中递推式求得a3，进而求得a4，代入bn=
求得b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）整理an+2=4an+1+an得
=4+
，进而求得关于bn的递推式，进而推断出bn＞4，且cn=bnbn+1=4bn+1＞17进而推断出Sn=c1+c2++cn≥17n．
（Ⅲ）先看当n=1时把b1和b2代入结论成立；在看当n≥2时，把（2）中求得的递推式代入|b2n-bn|，进而根据（2）中Sn≥17n的结论推断出|b2n-bn|＜
•
，进而根据|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|使原式得证．
| an+1 |
| an |
（Ⅱ）整理an+2=4an+1+an得
| an+2 |
| an+1 |
| an |
| an+1 |
（Ⅲ）先看当n=1时把b1和b2代入结论成立；在看当n≥2时，把（2）中求得的递推式代入|b2n-bn|，进而根据（2）中Sn≥17n的结论推断出|b2n-bn|＜
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| 17n-2 |
解答：解：（Ⅰ）∵a2=4，a3=17，a4=72，
所以b1=4．b2=
，b3=
（Ⅱ）由an+2=4an+1+an
得
=4+
即bn+1=4+
所以当n≥2时，bn＞4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1＞17（n≥2）
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（Ⅲ）当n=1时，结论|b2-b1|=
＜
成立
当n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
-4-
|=|
|≤
|bn-bn-1|≤
|bn-1-bn-2|≤
|b2-b1|＜
•
(n≥2)
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|
[(
)n-1+(
)n+(
)2n-2]=
•
＜
•
(n∈N*)
所以b1=4．b2=
| 17 |
| 4 |
| 72 |
| 17 |
（Ⅱ）由an+2=4an+1+an
得
| an+2 |
| an+1 |
| an |
| an+1 |
| 1 |
| bn |
所以当n≥2时，bn＞4
于是c1=b1，b2=17，cn=bnbn+1=4bn+1＞17（n≥2）
所以Sn=c1+c2++cn≥17n
（Ⅲ）当n=1时，结论|b2-b1|=
| 1 |
| 4 |
| 17 |
| 64 |
当n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
| 1 |
| bn |
| 1 |
| bn-1 |
| bn-bn-1 |
| bnbn-1 |
| 1 |
| 17 |
| 1 |
| 172 |
| 1 |
| 17n-1 |
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| 17n-2 |
所以|b2n-bn|≤|bn+1-bn|+|bn+2-bn+1|+…+|b2n-b2n-1|
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 17 |
| 1 |
| 17 |
| 1 |
| 17 |
| 1 |
| 4 |
(
| ||||
1-
|
| 1 |
| 64 |
| 1 |
| 17n-1 |
点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式与不等式，函数等知识综合考查是近几年高考的热点，平时的训练应注意知识的综合运用．
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