Question

（2011•邢台一模）已知a1=1，a2=2，an+1=an-1+(-1)n-1+n，(n∈N+)
（I）求a₃，a₅的值；
（II）求a_2n；
（III）求证：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n

＜

13

4

．

Answer 1

分析：（I）利用数列递推式，代入计算，即可求a₃，a₅的值；
（II）根据数列递推式，利用叠加法，即可求a_2n；
（III）分奇偶数，利用裂项法分别求和，即可证得结论．

解答：（I）解：∵a1=1，an+1=an-1+(-1)n-1+n，(n∈N+)
∴a₃=a₁-1+2=2，a₅=a₃-1+4=5；
（II）解：由a₄=a₂+4，a₆=a₄+6，…，a_2n=a_2n-2+2n
以上各式叠加可得a_2n=a2+

(n-1)(4+2n)

2

（n≥2）
∵a₂=2，∴a_2n=n²+n；
（III）证明：∵

1

a2n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

a2

+

1

a4

+…+

1

a2n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1…（1）
同理可得a_2n-1=n²-2n+2
当n≥3时，a_2n-1=n²-2n+2＞n²-2n，∴

1

a2n-1

＜

1

2

(

1

n-2

-

1

n

)
∴

1

a5

＜

1

2

(1-

1

3

)，

1

a7

＜

1

2

(

1

2

-

1

4

)，…，

1

a2n-1

＜

1

2

(

1

n-2

-

1

n

)
∴

1

a5

+

1

a7

+…+

1

a2n-1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-2

-

1

n

）＜

1

2

(1+

1

2

-

1

n-1

-

1

n

)＜

3

4

…（2）
由（1）（2）可知

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n

＜1+

1

2

+1+

3

4

=

13

4

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．