Question

【题目】某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a．求观众与乐队的互动指数之和 的概率分布及数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设“至少演唱1首原创新曲”为事件 ，

则事件 的对立事件 为：“没有1首原创新曲被演唱”．

所以 ．

答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为 ．

（2）

设随机变量 表示被演唱的原创新曲的首数，则 的所有可能值为0，1，2，3．

依题意， ，故 的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．

则 ，

，

，

．

从而 的概率分布为：

所以 的数学期望 ．

【解析】（1.）从正面分析可能性太多可从反面分析即求出4首全是经典歌曲的概率，然后用1减去4首全是经典歌曲的概率。
（2.）由已知得X的可能取值为8a，7a，6a，5a分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．