Question

已知cos（α-

β

2

）=-

4

5

，sin（β-

α

2

）=

5

13

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos

α+β

2

．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由α与β的范围求出α-

β

2

与β-

α

2

的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α-

β

2

）与cos（β-

α

2

）的值，原式中的角度变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：∵

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴

π

4

＜

α

2

＜

π

2

，0＜

β

2

＜

π

4

，即-

π

2

＜-

α

2

＜-

π

4

，-

π

4

＜-

β

2

＜0，
∴

π

4

＜α-

β

2

＜π，-

π

2

＜β-

α

2

＜

π

2

，
∵cos（α-

β

2

）=-

4

5

，sin（β-

α

2

）=

5

13

，
∴sin（α-

β

2

）=

1-(- 4 5 )2

=

3

5

，cos（β-

α

2

）=

1-( 5 13 )2

=

12

13

，
则cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）+（β-

α

2

）]=cos（α-

β

2

）cos（β-

α

2

）-sin（α-

β

2

）sin（β-

α

2

）=

5

13

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

35

65

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．