Question

（2012•海淀区二模）已知(x+1)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10．若数列a₁，a₂，a₃，…，a_k（1≤K≤11，K∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是

6

．．

Answer 1

分析：写出各项的系数，可得a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜a₆＞a₇，结合数列a₁，a₂，a₃，…，a_k是一个单调递增数列，可得结论．

解答：解：由二项式定理，得a1=

C

10 10

，a2=

C

9 10

，a3=

C

8 10

，a4=

C

7 10

，a5=

C

6 10

，a6=

C

5 10

，a7=

C

4 10

，…，a10=

C

1 10

，a11=

C

0 10

，因为a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅＜a₆＞a₇，且数列a₁，a₂，a₃，…，a_k是一个单调递增数列，所以k的最大值是6．
故答案为：6

点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．