Question

8．记号[x]表示不大于x的最大整数，数列{a_n}的通项a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$（n∈N^*），S_n为{a_n}的前n项和，则[S₂₅₀₀]=98．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），（n＞1），运用裂项相消求和，可得S₂₅₀₀＜99；由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），运用裂项相消求和，可得S₂₅₀₀＞98，即可得到所求值．

解答 解：a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$（n∈N^*）=$\frac{2}{2\sqrt{n}}$，
由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），（n＞1）可得，
S₂₅₀₀=$\frac{1}{\sqrt{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2500}}$＜1+2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2500}$-$\sqrt{2499}$）
=1+2×（50-1）=99；
由$\frac{2}{2\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），可得，
S₂₅₀₀=$\frac{1}{\sqrt{1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2500}}$＞2（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{2501}$-$\sqrt{2500}$）
=2×（$\sqrt{2501}$-1）∈（98，99）．
则[S₂₅₀₀]=98．
故答案为：98．

点评 本题考查新定义的理解和运用，注意运用不等式的放缩法和裂项相消求和，求得范围，考查运算能力，属于中档题．