Question

如图，四棱锥中，底面为梯形,∥, ,为的中点

(1)证明：

(2)若，求二面角的余弦值

Answer 1

）解：（Ⅰ）由余弦定理得BD==

           ∴BD²+AB²=AD²

∴∠ABD=90°，BD⊥AB

∵AB∥DC,  ∴BD⊥DC

∵PD⊥底面ABCD,BDÌ底面ABCD

∴BD⊥PD

又∵PD∩DC=D,   ∴BD⊥平面PDC,

又∵PCÌ平面PDC, ∴BD⊥PC         (6分)

（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=,

由（Ⅰ）可知BD⊥平面PDC.

如图，以D为坐标原点，射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz,则

D(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),P(0,0,),M(0,1，).

     =(,0,0),=(0,1，),=(0,-2,),=(,-2,0)  （7分）

       设平面BDM的法向量=（x,y,z）,则

       x=0,y+z=0,令z=,  ∴取=（0，-1，）        （8分）

       同理设平面BPM的法向量为=（a,b,c）,则

      ∴=(,1，)             （10分）

      ∴cos<,> ==-              （11分）

      ∴二面角D-BM-P的余弦值大小为.           （12分）