Question

13．已知函数f（x）=$\frac{ax}{1-{x}^{2}}$（a≠0）
（1）当a＞0时，用定义证明：函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）若a＜0，且函数f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的值域为[-2，2]，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义可得f（x）在（-1，1）上为奇函数，然后根据函数单调性的定义证明f（x）在[0，1）上为增函数；
（2）判断函数当a＜0时，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上为减函数，结合函数的值域求解方程即可．

解答 证明：（1）由题意，函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R都有f（-x）=$\frac{-ax}{1+{（-x）}^{2}}$=-$\frac{ax}{1+{x}^{2}}$=-f（x），
故f（x）在R上为奇函数；
则只要证明f（x）在[0，1）上的单调性即可．
任取0≤x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a{x}_{1}}{1-{{x}_{1}}^{2}}-\frac{a{x}_{2}}{1-{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{a{x}_{1}（1-{{x}_{2}}^{2}）-a{x}_{2}（1-{{x}_{1}}^{2}）}{（1-{{x}_{1}}^{2}）（1-{{x}_{2}}^{2}）}$=$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1-{{x}_{1}}^{2}）（1-{{x}_{2}}^{2}）}$，
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，0≤x₁x₂＜1，
∵a＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[0，1）上为增函数，
∵f（x）是奇函数，
∴函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）由（1）知：
①当a＞0时，f（x）在（-1，1）上为增函数，
②当a＜0时，f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上为减函数，
故f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的最大值为f（-$\frac{1}{2}$）=2，最小值为f（$\frac{1}{2}$）=-2，
即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}a}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}=\frac{\frac{1}{2}a}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2a}{3}$=-2，
解得a=-3．

点评 本题考查函数单调性的判断与证明以及值域的应用，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查化归思想与分类讨论思想的运用．