题目内容

11．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10且5a3•a1=（2a2+2）2．
（1）求d，an．
（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．

分析 （1）由题意可得d的方程，解方程可得通项公式；
（2）易得数列的前10项为正数，第11项为0，从第12项开始为负数，当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an；当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…a11-a12-an=-（a1+a2+a3+…+an）+2（a1+a2+a3+…a11），分别由等差数列的求和公式可得．

解答 解：（1）∵在公差为d的等差数列{an}中a1=10且5a3•a1=（2a2+2）2，
∴5（10+2d）•10=4（11+d）2，整理可得d2-3d-4=0，解得d=4或d=-1，
当d=4时，an=10+4（n-1）=4n+6；
当d=-1时，an=10-（n-1）=-n+11；
（2）由（1）可得d＜0时，an=-n+11，
∴数列的前10项为正数，第11项为0，从第12项开始为负数，
∴当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=$\frac{（10-n+11）n}{2}$=-$\frac{1}{2}$n2+$\frac{21}{2}$n；
当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…a11-a12-an
=-（a1+a2+a3+…+an）+2（a1+a2+a3+…a11）
=$\frac{1}{2}$n2-$\frac{21}{2}$n+2（-$\frac{1}{2}$×112+$\frac{21}{2}$×11）
=$\frac{1}{2}$n2-$\frac{21}{2}$n+110

点评 本题考查等差数列的求和公式和通项公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．

练习册系列答案
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1．64是等比数列1，2，4，8…的（　　）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项

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