Question

3．阅读如图所示程序框图，根据框图的算法功能回答下列问题：
（Ⅰ）当输入的x∈[-1，3]时，求输出y的值组成的集合；
（Ⅱ）已知输入的x∈[a，b]时，输出y的最大值为8，最小值为3，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由程序框图可知，$y=\left\{\begin{array}{l}-x+1，x＜1\\{x^2}-1，x≥1\end{array}\right.$，结合函数的单调性，可得x∈[-1，3]时，函数的值域；
（Ⅱ）结合输入的x∈[a，b]时，输出y的最大值为8，最小值为3，分类讨论分段点1与给定区间的关系，可得满足条件的实数a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）由程序框图可知，$y=\left\{\begin{array}{l}-x+1，x＜1\\{x^2}-1，x≥1\end{array}\right.$（1分）
当x∈[-1，1）时，y=-x+1，函数在[-1，1）上是减函数，（2分）
∴0＜y≤2，即y∈（0，2]（3分）
当x∈[1，3]时，y=x²-1，函数在[1，3]上是增函数（4分）
∴0≤y≤8，即y∈[0，8]（5分）
综上得，输入x∈[-1，3]，输出y的值组成的集合为[0，8]（6分）
（Ⅱ）当1∈[a，b]时，输入1，输出y=1²-1=0＜3，不合题意，
∴1∉[a，b]（7分）
当a＜b＜1时，y=-x+1，函数在[a，b]上是减函数，由已知得$\left\{\begin{array}{l}-a+1=8\\-b+1=3\end{array}\right.$（8分）
解之得$\left\{\begin{array}{l}a=-7\\ b=-2.\end{array}\right.$（9分）
当1＜a＜b时，y=x²-1，函数在[a，b]上是增函数，由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-1=3\\{b^2}-1=8\end{array}\right.$（10分）
解之得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3.\end{array}\right.$（11分）
综上得，所求实数a，b的值为$\left\{\begin{array}{l}a=-7\\ b=-2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3.\end{array}\right.$（12分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，程序框图，分类讨论思想，难度不大，属于中档题．