Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，顺次连接其四个顶点构成的四边形的面积为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设斜率为k的动直线l与椭圆C在第一象限只有一个公共点P，若过原点O的直线l₁与l垂直，求点P到直线l₁的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{2ab=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，从而解得椭圆C的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），从而由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$可得点P（$\frac{-4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），再写出直线l₁的方程为x+ky=0，从而化简点P到直线l₁的距离d=$\frac{1}{\sqrt{7+4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}}}$，由基本不等式可得4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$，从而求最大值即可．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{2ab=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得，a=2，b=$\sqrt{3}$；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$消去y得，
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由天直线l与椭圆C只有一个公共点，
故△=0，化简得3-m²+4k²=0，
解得点P（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$），
又点P在第一象限，故点P（$\frac{-4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），
∵过原点O的直线l₁与l垂直，
∴直线l₁的方程为x+ky=0，
∴点P到直线l₁的距离d=$\frac{|\frac{-4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}+\frac{3k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{7+4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}}}$，
∵4k²+$\frac{3}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$（当且仅当k²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，等号成立），
∴$\frac{1}{\sqrt{7+4{k}^{2}+\frac{3}{{k}^{2}}}}$≤$\frac{1}{\sqrt{7+4\sqrt{3}}}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．
故点P到直线l₁的距离的最大值为2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，基本不等式的应用，同时考查了学生的化简运算的能力，属于难题．