题目内容

当双曲线上的动点P在双曲线上运动时，若P到一条渐近线的距离越近，则到另一条渐近线的距离越远，那么动点P到两条渐近线距离之积及距离之和是否为定值？

答案：
解析：

　　探究：设P(x₀，y₀)是双曲线上的动点，双曲线方程为＝1(a＞0，b＞0)，则渐近线方程为bx＋ay＝0，P到bx＋ay＝0的距离d₁＝，P到bx－ay＝0的距离d₂＝．

　　∴d₁d₂＝．

　　∵P在双曲线上，∴b²x₀²－a²y₀²＝a²b²．

　　∴d₁d₂＝，即P到两渐近线距离之积为定值，而d₁＋d₂中含有x₀、y₀是一个变量，故P到两渐近线距离之和不是定值．

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（2010•南宁二模）设F₁、F₂分别为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，

），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线

=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

（08年龙岩一中冲刺文）（分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F₂的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若A、B分别是双曲C上两条渐近线上的动点，且2|AB|=|F₁F₂|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。

（3）若在双曲线右准线L的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.

设F₁、F₂分别为椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1， $数学公式$ ）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0， $数学公式$ ），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

设F₁、F₂分别为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1，

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0，

），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线

=1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．