题目内容

设F₁、F₂分别为椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1， $数学公式$ ）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，Q（0， $数学公式$ ），求|PQ|的最大值；
（Ⅲ）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P在椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．设对双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1写出具有类似特性的性质（不必给出证明）．

解：（Ⅰ）椭圆C的焦点坐标在x轴上，由椭圆上的点A到到F₁、F₂两点的距离之和等于4，
得2a=4，即a=2，
又椭圆C上的点A（1， $\text{[math]}$ ），因此 $\text{[math]}$ ，解得b= $\text{[math]}$ ，所以c=1，
所以椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ ，F₁、F₂两焦点坐标为（-1，0），（1，0）．
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点设（x，y），
则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，Q（0， $\text{[math]}$ ），
$\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 时，|PQ|的最大值= $\text{[math]}$ ；
（Ⅲ）类似性质，若M、N是双曲线双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K_PM、K_PN时，那么K_PM与K_PN之积是与点P位置无关的定值．
分析：（Ⅰ）若椭圆C上的点A（1， $\text{[math]}$ ）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，利用椭圆的定义，求出a，b，c 即可得到椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P的坐标，代入（Ⅰ）中所得椭圆方程，利用Q（0， $\text{[math]}$ ），求|PQ|的表达式，结合y的范围即可求出y的最大值；
（Ⅲ）类似椭圆的定义，直接把椭圆换为双曲线即可得到性质．
点评：本题是中档题，考查椭圆的定义，标准方程的求法，两点间的距离公式最值的求法，考查计算能力转化思想的应用．