设单位向量$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角.若对任意的|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=1.xy≥0}.都有|x+2y|≤$\frac{8}{\sqrt{15}}$成立.则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．设单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，若对任意的（x，y）∈{（x，y）|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=1，xy≥0}，都有|x+2y|≤$\frac{8}{\sqrt{15}}$成立，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{1}{4}$．

分析设单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，由|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=1，xy≥0，得（x+ycosθ）²+（ysinθ）²=1；
由|x+2y|≤$\frac{8}{\sqrt{15}}$得出[（x+ycosθ）²+（ysinθ）²][1+${（\frac{2-cosθ}{sinθ}）}^{2}$]≥$\frac{64}{15}$，
令t=cosθ，得出1+$\frac{{（2-t）}^{2}}{1{-t}^{2}}$≥$\frac{64}{15}$，求不等式的解集可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosθ的最小值．

解答解：设单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角θ，
由|x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$|=1，xy≥0，
得x²+y²+2xycosθ=1，
∴x²+2xycosθ+y²cos²θ+y²sin²θ=1，
即（x+ycosθ）²+（ysinθ）²=1；
又|x+2y|≤$\frac{8}{\sqrt{15}}$，
所以[（x+ycosθ）²+（ysinθ）²][1+${（\frac{2-cosθ}{sinθ}）}^{2}$]≥$\frac{64}{15}$；
令t=cosθ，则1+$\frac{{（2-t）}^{2}}{1{-t}^{2}}$≥$\frac{64}{15}$，
化简得64t²-60t+11≤0，
即（16t-11）（4t-1）≤0，
解得$\frac{1}{4}$≤t≤$\frac{11}{16}$，
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosθ≥$\frac{1}{4}$，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．