Question

已知函数f（x），f（1）=1且?x₁，x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂）恒成立．?n∈N^*，
有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1，
（1）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…b_nb_n+1，比较

4

3

S_n与T_n的大小并给出证明；
（2）若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞

6

35

[log 

1

2

（2x+1）-log 

1

2

（8x²-2）+1]对?n≥2都成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,抽象函数及其应用,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出f（n）=2n-1．从而an=

1

2n-1

，bn=f(

1

2n

)+1=

1

2n-1

．由此利用裂项求和法得

4

3

Sn=

2

3

(1-

1

2n+1

)．利用等比数列性质得T_n=

2

3

[1-（

1

4

）ⁿ]．进而利用二项式定理能证明

4

3

S_n＜T_n．
（2）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，F（n+1）-F（n）=

1

(2n+1)(4n+1)(4n+3)

＞0，由此利用已知条件推导出1+log

1

2

(8x2-2)＞log

1

2

(2x+1)，从而能求出

1

2

＜x＜1．

解答： 解：（1）∵有f（x₁+x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），
∴f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，
∴数列{f（n）}是以2为公差，1为首项的等差数列，
∴f（n）=2n-1．
∴an=

1

2n-1

，bn=f(

1

2n

)+1=

1

2n-1

．
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∴

4

3

Sn=

2

3

(1-

1

2n+1

)．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+…b_nb_n+1
=(

1

2

)0(

1

2

)+(

1

2

)(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1(

1

2

)n
=

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)2n-1
=

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

[1-（

1

4

）ⁿ]．
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=

C

0 n

+C

1 n

3+

C

2 n

32+…+

C

n n

3n≥

C

0 n

+

C

1 n

•3=3n+1＞2n+1．
∴

4

3

S_n＜T_n．…9分
（2）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，
则F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1
=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(2n+1)(4n+1)(4n+3)

＞0，
∴当n≥2时，F（n）＞F（n-1）＞…＞F（2）=

12

35

，…12分
a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞

6

35

[log

1

2

(2x+1)-log

1

2

(8x2-2)+1]对?n≥2都成立，
∴

12

35

＞

6

35

[log

1

2

(2x+1)-log

1

2

(8x2-2)+1]，
∴1+log

1

2

(8x2-2)＞log

1

2

(2x+1)，
∴

8x2-2＞0 2x+1＞0 1 2 (8x2-2)＜2x+1

，解得

1

2

＜x＜1．

点评：本题考查两数大小的比较，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．