Question

在四棱锥中，，，面，为的中点，．

（1）求证：；
（2）求证：面；
（3）求三棱锥的体积．

Answer 1

（（1）因为等腰三角形中 ，同时面，可知结论，
（2）利用中位线性质在中, ∥.得到结论。
（3）

试题分析：解：（1）证明 取中点，连接.   1分
在中，，，
则 ,．
而 
则 在等腰三角形中 . ①       2分
又 在中，,
则 ∥                           3分
因 面，面，
则 ，
又 ，即，
则  面，        4分
，
所以 ．   ②       5分
由①②知 面．
故  ．          6分 　　　　
　　
（2）（法一）取中点，连接．
则 在中, ∥.
又 面, 面
则 ∥面,                         7分
在中，
所以为正三角形，
则                            8分
又
则 ∥.
又 面, 面
则 ∥面,                          9分
而 ，
所以 面∥面.                       10分
又 面
则 ∥面．                         11分
(法二)延长交于，连接．                 7分
在中，，，
则 为的中点                         9分
又 
所以 ∥                          10分
又 面, 面
则 ∥面.                         11分
（3）由（1）（2）知 ,    

因 面， ∥
则 面，                       12分
故       14分
点评：主要是考查了空间中线面的位置关系的判定以及体积的求解，属于中档题。