Question

已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且与椭圆x²＋＝1有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M(0,1)，与椭圆C交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

Answer 1

（1）＋＝1;（2）(－∞，)．

试题分析：(1)求出已知椭圆离心率，结合焦距2c=4，可得a，b；（2）联立方程组，依据点在圆内部列出关系式求解.
试题解析：(1)∵椭圆C的焦距为4，∴c＝2.
又∵椭圆x²＋＝1的离心率为，∴椭圆C的离心率e＝＝＝，∴a＝2，b＝2.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋1，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去y，得(1＋2k²)x²＋4kx－6＝0，∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
由(1)知椭圆C的右焦点F的坐标为(2,0)，
∵右焦点F在圆的内部，∴·<0.∴(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂<0，
即x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＋k²x₁x₂＋k(x₁＋x₂)＋1<0.∴(1＋k²)x₁x₂＋(k－2)(x₁＋x₂)＋5
＝(1＋k²)·＋(k－2)·＋5＝<0，∴k<.
经检验，当k<时，直线l与椭圆C相交．∴直线l的斜率k的取值范围为(－∞，)．