题目内容
已知向量
=（cos
x，sin
x），
=（cosx，sinx）（0＜x＜π）．设函数f（x）=
•
，且f（x）+f'（x）为偶函数．（1）求x的值；
（2）求f（x）的单调增区间．
【答案】分析：（1）首先利用向量求得f（x），然后求出函数f（x）的导数，进而表示出f（x）+f'（x），再根据偶函数的定义求出结果；
（2）由（1）得出f（x）=cos（
x-
），再由余弦的单调性求出增区间即可．
解答：解：（1）f（x）=
•
=cos
xcosϕ+sin
xsinϕ=cos（
x-ϕ），
所以f（x）+f'（x）=cos（
x-ϕ）-
sin（
x-ϕ）=2cos（
x-ϕ+
），
而f（x）+f'（x）为偶函数，则有-ϕ+
=kπ，k∈Z，又0＜ϕ＜π，则k=0，即ϕ=
．
（2）由（1）得f（x）=cos（
x-
），由2kπ-π≤
x-
≤2kπ，
解得
（2kπ-
）≤x≤
（2kπ+
），
即此函数的单调增区间为
（k∈Z）．
点评：本题考查了三角函数的化简、余弦的单调性以及偶函数的定义，平时要牢记三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
（2）由（1）得出f（x）=cos（
x-
），再由余弦的单调性求出增区间即可．解答：解：（1）f（x）=
•
=cos
xcosϕ+sin
xsinϕ=cos（
x-ϕ），所以f（x）+f'（x）=cos（
x-ϕ）-
sin（
x-ϕ）=2cos（
x-ϕ+
），而f（x）+f'（x）为偶函数，则有-ϕ+
=kπ，k∈Z，又0＜ϕ＜π，则k=0，即ϕ=
．（2）由（1）得f（x）=cos（
x-
），由2kπ-π≤
x-
≤2kπ，解得
（2kπ-
）≤x≤
（2kπ+
），即此函数的单调增区间为
（k∈Z）．点评：本题考查了三角函数的化简、余弦的单调性以及偶函数的定义，平时要牢记三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
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