Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（-cosx，cosx），

c

=（-1，0）．
（Ⅰ）若x=

π

6

，求向量

a

、

c

的夹角；
（Ⅱ）当x∈[

π

2

，

9π

8

]时，求函数f(x)=2

a

•

b

+1的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出向量

a

、

c

的坐标，及向量的模，代入两个向量的夹角公式进行运算．
（Ⅱ）利用两个向量的数量积公式及三角公式，把函数的解析式化为某个角三角函数的形式，根据角的范围，结合
三角函数的单调性求出函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）当x=

π

6

时，
cos?

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

=

-cosx

cos2x+sin2x × (-1)2+02

=-cosx=-cos

π

6

 
=cos

5π

6

，∵0≤?

a

，

c

＞≤π，∴?

a

，

c

＞=

5π

6

．
（Ⅱ）f(x)=2

a

•

b

+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1=2sinxcosx-（2cos²x-1）
=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
∵x∈[

π

2

，

9π

8

]，∴2x-

π

4

∈[

3π

4

，2π]，故 sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]，
∴当 2x-

π

4

=

3π

4

，
即  x=

π

2

时，f（x）_max =1．

点评：本意考查两个向量的夹角公式，两个向量的数量积运算以及三角公式的应用，利用三角函数的单调性、有界性求其值域．