Question

已知函数f（x）=

5 3 x- 2 3 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 3 x+ 1 6 ，x∈[0， 1 2 ]

，函数g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用,集合

分析：求出两个函数的值域A，B，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则表示A∩B不是空集，进而得到实数a的取值范围．

解答： 解：当x∈[0，

1

2

]时，f（x）=-

1

3

x+

1

6

∈[0，

1

6

]
当x∈（

1

2

，1]时，f（x）=

5

3

x-

2

3

∈（

1

6

，1]
故当x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[0，1]，
又∵函数g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0）在[0，1]上为增函数，
∴g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2∈[g（0），g（1）]=[-2a+2，-

3

2

a+2]，
若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则[-2a+2，-

3

2

a+2]∩[0，1]≠∅，
即0≤-

3

2

a+2≤1，或0≤-2a+2≤1，
解得：a∈[

2

3

，

4

3

]∪[

1

2

，1]=[

1

2

，

4

3

]，
故实数a的取值范围是：[

1

2

，

4

3

]，
故答案为：[

1

2

，

4

3

]

点评：本题考查的知识点是方程的根，存在性问题，集合关系的判断，其中将已知转化为两个函数的值域A，B的有公共元素，是解答的关键．