Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）+2cos²x-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴的方程；
（2）若将函数y=f（x）的图象上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，设α，β∈（0，π），且g（α）=1，g（β）=$\frac{8}{5}$，求g（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性，得出结论．
（2）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率求得g（x）的解析式，根据g（α）=1，g（β）=$\frac{8}{5}$，求得cos2α、cos2β的值，可得sin2α、sin2β的值，再利用两角差的余弦公式求得g（α-β）=cos（2α-2β） 的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$．可得函数f（x）的图象的对称轴方程为 x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$ k∈Z．
（2）将函数y=f（x）的图象上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再将所得图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）=2sin[（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x的图象．
由 g（α）=2cos2α=1，可得cos2α=$\frac{1}{2}$；∵g（β）=2cos2β=$\frac{8}{5}$，可得cos2β=$\frac{4}{5}$．
再结合α，β∈（0，π），可得2α、2β还是锐角，∴sin2α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2β=$\frac{3}{5}$，
∴g（α-β）=cos（2α-2β）=cos2αcos2β-sin2αsin2β=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．