Question

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+sin（B-A）=$\sqrt{2}$sin2A，A≠$\frac{π}{2}$，求角A的取值范围．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式，二倍角的正弦公式求得sinB=$\sqrt{2}$sinA∈（0，1]，可得sinA的范围，从而求得A的范围．

解答 解：△ABC中，由sinC+sin（B-A）=$\sqrt{2}$sin2A，A≠$\frac{π}{2}$，
可得 sin（A+B）+sin（B-A）=$\sqrt{2}$sin2A，
即 sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=$\sqrt{2}$sin2A，
即 2cosAsinB=2$\sqrt{2}$sinAcosA，再根据cosA≠0，求得sinB=$\sqrt{2}$sinA∈（0，1]，
故sinA∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
再根据A不是最大角，可得A∈（0，$\frac{π}{4}$]．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角的正弦公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．