Question

18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，得到函数g（x）的图象，若g（-x）=-g（x），则函数f（x）的图象（　　）

• A． 关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称
• B． 关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称
• C． 关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称
• D． 关于直线x=$\frac{π}{12}$对称

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性求得ω，根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数的奇偶性求得φ，可得g（x）、f（x）的解析式．再利用正弦函数的图象的图象的对称性，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，得到函数g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的图象，
若g（-x）=-g（x），则函数g（x）为偶函数．
故 $\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
再结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（$\frac{5π}{12}$，0）对称，
故选：A．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性和奇偶性，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．