题目内容
如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2，
（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）求四面体BDEF的体积。
（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；
（Ⅱ）求四面体BDEF的体积。
（Ⅰ）证明：设
，
取BE中点G，连结FG，OG，
所以，
，
因为AF∥DE，DE=2AF，
所以
，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO，
因为
，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF。
（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以
，
因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2，
所以△DEF的面积为
，
所以四面体BDEF的体积
。
，取BE中点G，连结FG，OG，
所以，
，因为AF∥DE，DE=2AF，
所以
，从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO，
因为
，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF。
（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以
，因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2，
所以△DEF的面积为
，所以四面体BDEF的体积
。
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