Question

8．已知x∈[$\frac{1}{2}$，8]，求函数f（x）=（log₂$\frac{x}{4}$）•（log₂$\frac{2}{x}$）的值域．

Answer 1

分析 根据x的范围可以求出log₂x的范围为[-1，3]，进行对数的运算得到f（x）=（log₂x-2）（1-log₂x），可设$lo{g}_{2}\frac{x}{2}=t$，t∈[-2，2]，y=f（x），从而可以得出二次函数y=-t²+3t-2，进行配方即可得出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：$x∈[\frac{1}{2}，8]$，∴log₂x∈[-1，3]；
f（x）=（log₂x-log₂4）（log₂2-log₂x）=（log₂x-2）（1-log₂x），设y=f（x），log₂x=t，t∈[-1，3]；
∴y=（t-2）（1-t）=-t²+3t-2=$-（t-\frac{3}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$；
∵t∈[-1，3]；
∴$t=\frac{3}{2}$时，y取最大值$\frac{1}{4}$，t=-1时，y取最小值-6；
∴该函数的值域为$[-6，\frac{1}{4}]$．

点评 考查函数值域的概念，不等式的性质，对数函数的单调性，对数的运算，以及换元求函数值域的方法，配方求二次函数值域的方法．