题目内容
15．三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，PA=a，PB=b，PC=c，求此三棱锥的体积．
分析 利用三面角公式求出PC与底面所成角的余弦函数值，然后求出C到底面的距离，底面PAB的面积，即可求解三棱锥的体积．
解答 解：由题意三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，可知PC在底面PAB内的射影是∠BPA的平分线，
PC与∠BPA的平分线的夹角为θ，由三面角公式可得：cos60°=cos30°cosθ，
可得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
C到底面PAB是距离为：PCsinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$c．
底面PAB三角形的面积为：$\frac{1}{2}absin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$．
三棱锥的体积为：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}ab×\frac{\sqrt{6}}{3}c$=$\frac{\sqrt{2}}{12}abc$．
点评 本题考查三面角公式的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力以及空间想象能力．
练习册系列答案
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4．对于任意实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，则不等式4[x]2-12[x]+5＜0成立的充分不必要条件是（ ）
| A． | x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$） | B． | x∈（$\frac{1}{2}$，3） | C． | x∈[1，2] | D． | x∈[1，3） |