Question

周长为a的扇形，圆心角等于

 

（用弧度去表示）时，扇形面积最大．

Answer 1

分析：设扇形的半径为r，弧长为l，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．

解答：解：设扇形的半径为r，弧长为l，则
l+2r=a，即l=a-2r（0＜r＜

a

2

）．
扇形的面积S=

1

2

lr，将上式代入，
得S=

1

2

（a-2r）r=-r²+

1

2

ar=-（r-

1

4

a）²+

a2

4

，
所以当且仅当r=

1

4

a时，S有最大值

a2

4

，
此时l=

a

2

，
所以α=

l

r

=2rad．
所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值，最大值

a2

4

．

点评：本题是基础题，考查扇形的周长，半径圆心角，面积之间的关系，考查计算能力．