题目内容
将一块圆心角为
半径为a的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上（图1）或让矩形一边与弦AB平行（图2）（1）在图1中，设矩形一边PM的长为x，试把矩形PQRM的面积表示成关于x的函数；
（2）在图2中，设∠AOM=θ，试把矩形PQRM的面积表示成关于θ的函数；
（3）已知按图1的方案截得的矩形面积最大为
，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由．
【答案】分析：（1）求出PM，RM的值，利用面积公式可得结论；
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面积公式可得结论；
（3）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数求最值，即可得到结论．
解答：解：（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR=
在Rt△PMO中，OM=
，∴RM=OM-OR=
…（2分）
∴
，
…（3分）
（2）∠MRA=
×
=
，∠MRO=
，
在△OMR中，由正弦定理，得：
=
，即RM=2a•sinθ，…（6分）
又
=
，∴OR=2a•sin（
-θ），…（8分）
又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（
-θ）
∴矩形的MPQR的面积为S=MR•PQ=4a2•sinθ•sin（
-θ） 
…（9分）
（3）对于（2）中的函数
=
…（11分）
当
，即
时，
…（13分）
∵
，故按图1的方案能得到最大面积的矩形．…（14分）
点评：本题考查函数模型的建立，考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面积公式可得结论；
（3）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数求最值，即可得到结论．
解答：解：（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR=
在Rt△PMO中，OM=
，∴RM=OM-OR=…（2分）∴
，…（3分）（2）∠MRA=
×=，∠MRO=，在△OMR中，由正弦定理，得：
=，即RM=2a•sinθ，…（6分）又
=，∴OR=2a•sin（-θ），…（8分）又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（
-θ）∴矩形的MPQR的面积为S=MR•PQ=4a2•sinθ•sin（
-θ） …（9分）（3）对于（2）中的函数
=…（11分）当
，即时，…（13分）∵
，故按图1的方案能得到最大面积的矩形．…（14分）点评：本题考查函数模型的建立，考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．
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半径为a的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上（图1）或让矩形一边与弦AB平行（图2）
，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由．