题目内容

将一块圆心角为 $数学公式$ 半径为a的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上（图1）或让矩形一边与弦AB平行（图2）
（1）在图1中，设矩形一边PM的长为x，试把矩形PQRM的面积表示成关于x的函数；
（2）在图2中，设∠AOM=θ，试把矩形PQRM的面积表示成关于θ的函数；
（3）已知按图1的方案截得的矩形面积最大为 $数学公式$ ，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由．

解：（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR= $\text{[math]}$
在Rt△PMO中，OM= $\text{[math]}$ ，∴RM=OM-OR= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（2）∠MRA= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∠MRO= $\text{[math]}$ ，
在△OMR中，由正弦定理，得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即RM=2a•sinθ，
又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴OR=2a•sin（ $\text{[math]}$ -θ），
又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（ $\text{[math]}$ -θ）
∴矩形的MPQR的面积为S=MR•PQ=4a²•sinθ•sin（ $\text{[math]}$ -θ） $\text{[math]}$
（3）对于（2）中的函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，故按图1的方案能得到最大面积的矩形．
分析：（1）求出PM，RM的值，利用面积公式可得结论；
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面积公式可得结论；
（3）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数求最值，即可得到结论．
点评：本题考查函数模型的建立，考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．