Question

将一块圆心角为

π

3

半径为a的扇形铁片截成一块矩形，如图，有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上（图1）或让矩形一边与弦AB平行（图2）
（1）在图1中，设矩形一边PM的长为x，试把矩形PQRM的面积表示成关于x的函数；
（2）在图2中，设∠AOM=θ，试把矩形PQRM的面积表示成关于θ的函数；
（3）已知按图1的方案截得的矩形面积最大为

3

6

a2，那么请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出PM，RM的值，利用面积公式可得结论；
（2）利用正弦定理求RM，OR，再利用面积公式可得结论；
（3）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数求最值，即可得到结论．

解答：解：（1）PM=QR=x，在Rt△QRO中，OR=

x

3

在Rt△PMO中，OM=

a2-x2

，∴RM=OM-OR=

a2-x2

-

3 x

3

…（2分）
∴S=PM•RM=x

a2-x2

-

3

3

x2，x∈(0，

3

2

a)…（3分）
（2）∠MRA=

1

2

×

π

3

=

π

6

，∠MRO=

5π

6

，
在△OMR中，由正弦定理，得：

RM

sinθ

=

a

sin 5π 6

，即RM=2a•sinθ，…（6分）
又

OR

sin( π 6 -θ)

=

a

sin 5π 6

，∴OR=2a•sin（

π

6

-θ），…（8分）
又正△ORQ中，QR=OR=2a•sin（

π

6

-θ）
∴矩形的MPQR的面积为S=MR•PQ=4a²•sinθ•sin（

π

6

-θ）  θ∈(0，

π

3

)…（9分）
（3）对于（2）中的函数S=4a2sinθ(

1

2

cosθ-

3

2

sinθ)=4a2(

1

2

sinθcosθ-

3

2

sin2θ)=4a2[

1

4

sin2θ-

3

4

(1-cos2θ)]=2a2[sin(2θ+

π

3

)-

3

2

]…（11分）
当2θ+

π

3

=

π

2

，即θ=

π

12

时，Smax=(2-

3

)a2…（13分）
∵(2-

3

)a2＜

3

6

a2，故按图1的方案能得到最大面积的矩形．…（14分）

点评：本题考查函数模型的建立，考查正弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．