Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C是边长为2的正方形，E是A₁B的中点，F在棱CC₁上．
（1）当C₁F=

1

2

CF时，求三棱锥F-A₁BC的体积．
（2）当点F使得A₁F+BF最小时，判断直线AE与A₁F是否垂直，并证明结论．

Answer 1

分析：（1）根据等积法，可得三棱锥F-A₁BC的体积VF-A1BC=VA1-FBC，根据已知中的数据，代入棱锥体积公式，可得答案．
（2）解法1：将侧面BCC₁B₁展开到侧面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，连结A₁B，交C₁C于点F，此时点F使得A₁F+BF最小．此时F为C₁C的中点．连接EF、AF，综合勾股定理，线面垂直的判定定理及性质，可得结论．
解法2：将侧面BCC₁B₁展开到侧面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，连结A₁B，交C₁C于点F，此时点F使得A₁F+BF最小．此时FC平行且等于A₁A的一半，过点C作CG⊥AB交AB于G，连接EF，
进而由线面垂直的判定定理及性质，可得结论．

解答：解：（1）因为侧面AA₁C₁C是边长为2的正方形，
∴AC=CC₁=2
∴BC=2
又∵C1F=

1

2

CF∴CF=

4

3

∴VF-A1BC=VA1-FBC=

1

3

×

1

2

×2×

4

3

×

3

2

×2=

4 3

9

-------（5分）
（2）解法1：将侧面BCC₁B₁展开到侧面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，
连结A₁B，交C₁C于点F，此时点F使得A₁F+BF最小．此时F为C₁C的中点．-----------（7分）
连接EF、AF
在Rt△A₁AB中，AA₁=AB=2得AE=

2

在Rt△AFC中，AC=2，FC=1得AF=

5

在等腰△A₁FB中，A1F=BF=

5

得EF=

3

所以由AE=

2

，AF=

5

，EF=

3

得AE²+EF²=AF²
有勾股定理知AE⊥EF
∴

AE⊥AF AE⊥A1B A1F∩EF=F

?AE⊥面A1FB?AE⊥A1F-----------------（12分）
解法2（参考给分）：将侧面BCC₁B₁展开到侧面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，
连结A₁B，交C₁C于点F，
此时点F使得A₁F+BF最小．此时FC平行且等于A₁A的一半，
∴F为C₁C的中点．
过点C作CG⊥AB交AB于G，连接EF，
由FC∥EG且FC=EG知四边形EGCF为平行四边形
所以EF∥CG．
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中知CG⊥面A₁AB，而EF∥CG，
所以EF⊥面A₁AB．
∴AE⊥EF
∴

AE⊥AF AE⊥A1B A1F∩EF=F

?AE⊥面A1FB?AE⊥A1F

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，空间线面关系的判定，（1）的关键是利用等积法进行转化，（2）的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及性质