Question

10．设f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，（1≤x≤2）}\\{x-1，（2＜x≤3）}\end{array}}$对于实数a将g（x）=f（x）-ax在x∈[1，3]中的最大值与最小值的差记作p（a），当a在实数范围内取值时，求：p（a）的最小值，并求此时的a的值．

Answer 1

分析 由已知可求出g（x）的解析式，分类讨论出函数在各段上的单调性，进而求出函数的最值的表达式，进而可得p（a）的表达式，进而可求出p（a）的最小值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{1，（1≤x≤2）}\\{x-1，（2＜x≤3）}\end{array}}$对于实数a将g（x）=f（x）-ax，
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-ax，1≤x≤2}\\{（1-a）x-1，2＜x≤3}\end{array}\right.$
当1≤x≤2时，g（x）_max=1-a，g（x）_min=1-2a，
当2≤x≤3时，若0≤a≤1，则g（x）在[2，3]上递增，
g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a，
当a＞1时，则g（x）在[2，3]上递减，
g（x）_max=1-2a，g（x）_min=2-3a，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$，g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a
当$\frac{1}{2}$＜a≤1，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a
当a＞1时，g（x）_max=1-a，g（x）_min=2-3a，
当a≤0时，g（x）_max=2-3a，g（x）_min=1-2a

∴$p（a）=\left\{{\begin{array}{l}{1-2a，（a≤0）}\\{1-a，（0＜a≤\frac{1}{2}）}\\{a，（\frac{1}{2}＜a≤1）}\\{2a-1，（a＞1）}\end{array}}\right.$
当a=$\frac{1}{2}$时最小值为$\frac{1}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，分段函数，其中分段函数分段处理是解答此类问题的常用方法．